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高考数学复习:运用向量方法解决轨迹方程
2008-2-1 10:54:47 潇湘招考在线 【字号 】 【论坛】 【打印】【关闭
 

天津市第四十二中学 李艳杰


二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。


例1:已知定点A(2,0),点P在曲线x2+y2=1(x≠1)上运动,∠AOP的平分线交PA于Q,其中O为原点,求点Q的轨迹方程。


解: 设Q(x,y),P(x1,y1)


-=(x-2,y)


-=( x1-x,y1-y)


又∵-=-=-


∴ -=2-


即:(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)


-


解得:-


代入x12+y12=1(x≠1)有:


-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)


即所求轨迹方程为:


(x--)2+y2=-(x≠-)


【点拨】用该方法解此类问题简单明了,若将Q视为线段AP的定比分点,运用定比分点公式解本题,则计算过程既繁琐又容易出错。


例2:设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若-=2-,且-·■=1,求P点的轨迹方程。


解:-=2-


∴P分有向线段-所成的比为2


由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)


∴- =(--x,3y)


∵Q与P关于y轴对称, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)


∴由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0)


即所求点P的轨迹方程为-x2+3y2=1(x>0,y>0)


【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。化简过程破坏了方程的同解性,要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。


三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。


例1:如图,过定点A(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2,且l1与x轴相交于M点,l2与y轴相交于N点,求线段MN中点P的轨迹方程。


解:设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y)


-=(2x-a ,-b)


-=(-a,2y-b)


由-⊥-知-·■=0


∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0


即所求点P的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2


【点拨】用勾股定理解本题,运算繁琐,若用斜率解本题,又必须分类讨论,用向量的方法避免了上述两种方法的缺陷,使解题优化。


例2:过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,过原点O作OM⊥AB,垂足M,求点M的轨迹方程。


解:设M(x,y), OM⊥AB,F(2,0)


∵-·■=0且-=(x,y),-=(2-x,-y)


∴x(2-x)-y2=0,即:x2+y2-2x=0


∴点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0


由以上几例可以看出:轨迹方程的很多题目都可以用向量来探求思路。用向量解决求轨迹问题,最理想的情形是题设中有“向量的数量积”“平行”“垂直”,或结论与“垂直”有关。重要的是在学习和应用的过程中培养向量意识,使向量成为我们处理问题的基本工具



稿源:城市快报
编辑:风琳





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