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高考物理复习:运用向量方法解决轨迹问题
2008-1-30 10:28:31 潇湘招考在线 【字号 】 【论坛】 【打印】【关闭
 

天津市第四十二中学 李艳杰


近几年高考中轨迹方程问题常与向量相结合,向量引入圆锥曲线可以启迪我们从一个新的角度去分析、解决问题,有利于开发智力,提高能力。在解析几何中充分运用向量的知识,常能使很多繁琐的计算变得简单易行,起到事半功倍的效果。笔者以教学中所遇的几例加以说明。


一、直接法求轨迹方程


例1:如图,已知F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过点P作l的垂线,垂足为点Q,且-·■=-·■。


(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;


(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M。


(1)已知-=1-,-=2-,求1+2的值;


(2)求-·■ 的最小值。


解法一:(Ⅰ)设点P(x,y),则Q(-1,y),由-·■=-·■得:


(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C:y2=4x


解法二:(Ⅰ)由-·■=-·■得:-·(-+-)=0,


∴(---)·(-+-)=0


∴-2--2=0


∴|-|=|-|


所以点P的轨迹C是抛物线,由题意,轨迹C的方程为:y2=4x。


(Ⅱ)解法从略。


【点拨】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识,考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法,考查运算能力和综合解题能力。


例2:设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若-=2-且-·■=1,则点P的轨迹方程是( )


A.3x2+-y2=1(x>0,y>0)


B.3x2--y2=1(x>0,y>0)


C.-x2-3y2=1(x>0,y>0)


D.-x2+3y2=1(x>0,y>0)


解:设P(x,y),则Q(-x,y),又设A(a,0),B(0,b),则a>0,b>0,于是-=(x,y-b),-=(a-x,-y),由-=2-可得a=-x,b=3y,所以x>0,y>0又-=(-a,b)=(--x,3y),由-·■=1可得-x2+3y2=1(x>0,y>0),所以选D。

 



稿源:城市快报
编辑:风琳





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